Fogalma, rövid bemutatása
A kocka egy olyan szabályos poliéder, melynek minden oldala négyzet. Ha nagyon egyszerűen szeretnénk fogalmazni, akkor mondhatnánk azt is, hogy a kocka egy olyan téglatest, melynek minden éle egyenlő. A kocka egy hasáb, szabályos test.
Tulajdonságai
- A kockának 8 csúcsa van
- A kockának 12 azonos élhosszúságú éle van
- A kockának 6 egybevágó lapja van
- A kockának minden éle egyenlő
- A kockának minden élszöge egyenlő
- A kockának minden lapszöge egyenlő
- Minden kockának van beírt gömbje
- Minden kockának van köré írható gömbje
A kocka lapátlójának és testátlójának hossza
Szemléljük az alábbi ábrát! Jelöljük a kocka élhosszát a-val, a lapátló hosszát d-vel, a testátló hosszát D-vel. Ekkor az alábbi összefüggések írhatók fel a Pigatorasz-tételnek köszönhetően:
A kocka térfogata
A kocka térfogatát legegyszerűbben az oldalak szorzataként adhatjuk meg. A korábbi jelöléseket használva kijelenthető, hogy a kocka térfogata
ahol "a" természetesen a kocka oldalélét jelöli.
Szintén megadható egy kocka térfogata a lapátlójának vagy a testátlójának a hosszával. Lehetséges, hogy egy feladatmegoldás során nem ismerjük a kocka oldalhosszúságát, hanem csupán a lapátlóját vagy a testátlóját. Ekkor megtehetjük azt, hogy kiszámítjuk a kocka térfogatát, azonban az is megtehető – az eddigi jelöléseket használva – hogy az alábbi képleteket használjuk:
A kocka felszíne
A kocka felszínét ugyanúgy számíthatjuk ki, mint ahogy minden más poliéderét: a felületét határoló lapok területösszegét vesszük. Tekintve, hogy 6 négyzet határolja a kockát, ezért a felszín viszonylag könnyen megadható a hat négyzet területösszegeként:
Természetesen megeshet az is, hogy csupán a lapátló vagy a testátló hossza adott. Rövid egyenletrendezéssel kijön, hogy a felszín ezekkel kifejezve:
Beírt és köré írható gömbjének a sugara
Mint korábban említettük – a felsorolt tulajdonságoknál – hogy minden kockának van beírt, és körülírt gömbje. Ezeknek a sugarát könnyedén kifejezhetjük az oldalhossz segítségével. Ha a beírt gömb sugara r és a köréírt gömb sugara R, akkor az alábbi összefüggések igazak:
Ezen felül meghatározhatjuk annak a gömbnek is a sugarát, ami a kocka éleit érinti. Fontos, hogy ezt a gömböt ne keverjük össze a beírható gömbbel, ami a lapokat érinti! Ennek a kockának a sugara:
Ez egy szimmetrikus test?
Természetesen igen! Vágná rá mindenki. Hiszen a középpontja szimmetria középpont is egyben. Azonban kevesebben tudják, hogy kilenc szimmetriasíkja van a testnek. Ha pontokba szeretnénk szedni minden állítást a szimmetriára vonatkozóan, a kockának
- egy szimmetriaközéppontja
- kilenc szimmetriasíkja
- három négyfogású forgástengelye
- négy háromfogású forgástengelye
- hat kétfogású forgástengelye
van. Habár egy középiskolásnak ezek közül elegendő mindössze az első kettőt ismernie.
Összefoglalás
A kocka az egyik esszenciális, középponti témája a matematika érettséginek, vagy a felvételinek. Éppen ezért tisztában kell lennünk a legtöbb számítási képlettek, és a kockára vonatkozó állításokkal. Ha szeretnél még több oktató anyagot olvasni, akkor nézz szét a blogunkon, vagy fizess elő online tudásbázisunkba!