Definíciója
A kör azon pontok halmaza a síkon, amelyek az adott ponttól egy adott távolságra vannak. Vegyük az alábbi ábrát! A kör középpontja a (0,0) pontban helyezkedik el. Az alakzat vonalának mindegyik pontja 2 egység távolságra van az O ponttól, mely a kör középpontja. Tehát, az OA, OB és OC szakaszok hossza egyaránt 2 egység.
Mik a részei?
Jelöljük a kör középpontját O-val. Vegyük az alábbi ábrát – ennek a segítségével fogjuk elmagyarázni a kör részeit. Az alábbi megállapítások tehetők.
A kör sugara, rádiusza (r) a kör középpontját és a kör egy tetszőleges pontját összekötő szakasz. E szakasz hosszát szokták egyszerűen sugárnak nevezni.
A kör átmérője (d) egy olyan húr, amely áthalad a kör középpontján, a kör két átellenes pontját összekötő szakasz. A szakasz hosszát szokták egyszerűen átmérőnek is nevezni. Az átmérő hossza mindig kétszer akkora, mint a sugár hossza.
A körív a körvonal tetszőleges hosszúságú szakasza.
A húr a körvonal két tetszőleges pontját összekötő szakasz. A kör legnagyobb húrja annak átmérője.
A körszelet egy olyan síkidom, melyet egy körív és egy húr határol.
A szelő olyan egyenes, amely két tetszőleges pontban metszi a körvonalat.
A körlap vagy körlemez a kör középpontjától sugárhossznál nem nagyobb távolságra levő pontok halmaza.
A körcikk egy olyan síkidom, melyet két tetszőleges sugár és az általuk közre zárt körív határol.
Habár az ábra már nem tér ki ezekre, érdemes lehet az alábbi fogalmakat is letisztázni.
A körgyűrű két azonos középpontú körvonal által határolt síkidom.
A kör húrsokszögének nevezzük azokat a szabályos sokszögeket, melyeknek minden csúcsa a körív valamely pontja.
A kör érintősokszögének nevezzük azokat a szabályos sokszögeket, melyeknek minden oldala értintője a körnek.
A kör területe
A kör területe nem más, mint a körvonal által határolt síkidom területe. Ezt a sugár, valamint egy nevezetes szám, a Pí (π) segítségével határozhatjuk meg. A kör területét úgy számolhatjuk ki, hogy négyzetre emeljük a kör sugarát, és ezt megszorozzuk π-vel. Képtelesen az alábbi módon fest mindez:
A π egy irracionális szám, tehát nem írható fel véges tizedestört alakban. Értéke megközelítőleg 3.1416, a gyakorlatban az a helyes, ha a számológépünkön levő szimbólumot használjuk számoláskor. Definíciója eredetileg a körhöz kapcsolódik: a kör kerületének és átmérőjének hányadosaként definiálják.
Előfordulhat, hogy a feladat nem a kör sugarát adja meg, hanem annak az átmérőjét. Ez esetben megtehetjük, hogy az előbb említett formulát használjuk úgy, hogy először kiszámoljuk a kör átmérőjéből annak a sugarát. Azonban megtehetjük azt is, hogy egyből a kör átmérőjével számolunk – ez esetben a képlet az alábbi alakot ölti:
A körcikk területe
A körcikk területe nagyon gyakran jön elő felvételi feladatsorokban, vagy pedig az érettségin. Ezért fontos, hogy tisztában legyünk az ide vágó legfontosabb tételekkel és állításokkal.
Egy kör két körcikkhez tartozó körív hosszának aránya megegyezik a középponti szögek arányával. Azaz,
ahol és a megfelelő középponti szögeket, és a megfelelő köríveket jelöli.
Egy körben a középponti szög és a hozzátartozó körcikk területe egyenesen arányos. Ebből az állításból következik, hogy a kisebb középponti szöghöz kisebb terület, a nagyobb középponti szöghöz nagyobb területű körcikk tartozik. Az alábbi egyenletet írhatjuk fel egy kör két tetszőleges körcikkére vonatkozóan:
Ha mindig ahhoz a körcikkhez viszonyítunk, ami a teljes kör területét lefedi (2π radiánhoz tartozó középponti szög) akkor az alábbi arányosságot írhatjuk fel:
Ahol értelemszerűen az adott körcikk középponti szögét jelenti radiánban. Amennyiben fokban szeretnénk számolni, az alábbi egyenletet írhatjuk fel:
Ahol értelemszerűen az adott körcikk középponti szögét jelenti fokban.
A körszerelt területe
Egy picit bonyolultabb kérdés lehet, hogy egy körszeletnek mekkora a területe. Ismétlés gyanánt nézzük meg a körszelet definícióját! A körszelet egy olyan síkidom, melyet egy körív és egy húr határol. Szemléljük az alábbi ábrát. Egyszerű geometriai megfontolással is kiszámítható a PN által közre zárt körszerelt területe: a teljes körcikk területéből vonjuk ki a KPN háromszög területét. Mindezek alapján a PN körszelet területe viszonylag egyszerűen adódik:
A kör kerülete
Szintén nagyon fontos, hogy tisztában legyünk azzal, hogy hogyan kell kiszámolni a kör kerületét. Korábban már definiáltuk a π fogalmát, ezzel a nevezetes számmal határozhatjuk meg a kör kerületét a sugár ismeretében. A kör kerülete a sugár (r) kétszeresének és a π-nek a szorzata.
Amennyiben az átmérő ismert, nem feltétlenül szükséges a sugarat kiszámolni a kerület meghatározásához, ugyanis az átmérő (d) ismeretében megtehetjük ezt.
Mi van abban az esetben, ha a kör területe ismert, de a sugara nem? Ez esetben szintén meghatározható a kerület közvetlenül a területből. Használjuk az alábbi képletet!
Mi van akkor, ha a kerület ismert, és abból szeretnénk meghatározni a területet? Ez esetben az alábbi képletet kell használni:
10 feladat – megoldásokkal együtt
Mindig fontos, hogy minél többet gyakoroljunk, és hogy minél több példán keresztül lássuk egy adott problémára a választ. Ennek kapcsán szerettünk volna 10 feladatot összegyűjteni, ami a kör területéhez és kerületéhez kapcsolódik. Fontos, hogy ne úgy próbáljuk a feladatokat megoldani, hogy a képleteket ész nélkül felírjuk – próbáljuk meg mindig a józan eszünket és megítélő képességünket használni!
1. feladat
Adott egy kör, melynek sugara 10cm. Számoljuk ki annak területét!
Megoldás.
Használjuk az ismert formulát a feladat megoldásához.
2. feladat
Adott egy kör, melynek átmérője 25cm. Számoljuk ki annak területét!
Megoldás.
Használjuk az ismert formulát a feladat megoldásához. Ez esetben az átmérőre vonatkozó képletet érdemes használni.
3. feladat
Adott két kör, melynek átmérői 25m és 50m. Számoljuk ki a területeik arányát!
Megoldás.
Használjuk az ismert formulát a feladat megoldásához, melyet egy adott átmérőjű kör területszámítására használhatunk fel.
A területek aránya két kör esetén tehát így írható fel:
A behelyettesítést használva adódik az eredmény:
4. feladat
Adott egy kör, melynek sugara 12mm. Számoljuk ki annak kerületét!
Megoldás.
Használjuk az ismert formulát a feladat megoldásához.
5. feladat
Egy kör területe a mérések eredménye szerint 100 négyzetméter. Mennyi a kerülete?
Megoldás.
Nem szükséges meghatározni a sugarat, használjuk az ismert formulát!
Ezt behelyettesítve adódik, hogy a kerülete 35.449 m.
6. feladat
Egy kör kerülete a mérések eredménye szerint 10 méter. Mennyi a területe?
Megoldás.
Nem szükséges meghatározni a sugarat, használjuk az ismert formulát!
Ezt behelyettesítve adódik, hogy a kör területe 7.957 négyzetméter.
7. feladat
Adott egy kör, melynek átmérője 2m. Számoljuk ki annak kerületét!
Megoldás.
Használjuk az ismert formulát a feladat megoldásához.
8. feladat
Adott két körcikk az alábbi ábra szerint. Számoljuk ki a területeik arányát!
Megoldás. A diákok sokszor szokták ott elrontani ennek a feladatnak a megoldását, hogy a középponti szöget négyzetével arányos területeket feltételeznek. Valójában egyenes arányosság áll fent. a területek aránya:
9. feladat
Számoljuk ki az alábbi két körcikk területét. A kör sugara 2m. Az eredményt két négyzetméterben adjuk meg, két tizedesjegy pontossággal!
Megoldás. Használjuk a korábban bemutatott összefüggést. a körcikk területére és kerületére vonatkozóan.
Átrendezéssel adódóik, hogy
Ahhoz, hogy a képletet használni tudjuk, ismerni kell a teljes területet, határozzuk meg ezt is!
Behelyettesítés után az eredmény:
10. Egy pizzériában kétféle pizzát lehet vásárolni. Az egyiknek 1000 Ft az ára és 32 cm az átmérője, míg a másiknak 2000 Ft az ára és 50 cm az átmérője. Melyiket éri meg jobban megvenni?
Megoldás. Ahhoz, hogy meghatározzuk, hogy melyiket éri meg jobban megvenni, érdemes kiszámolni, hogy melyiknek mennyibe kerül az ára négyzetcentiméterenként. Ehhez pedig az árakat kell a területtel elosztani. Számoljunk sugarakkal.
A 32 cm-es pizzának az ára négyzetcentiméterenként:
Az 50 cm-es pizzának az ára négyzetcentiméterenként:
Ahogy várhattuk, a nagyobb pizzát jobban megéri megvásárolni.
Összefoglalás
A kör területszámítása tipikusan egy olyan témakör, ami a való életben is megjelenik: rengeteg embernek a munkája során is előjöhetnek ehhez hasonló feladatok és példák. Általános iskolás vagy? Netán gimnazista, vagy érettségiző? Szeretnél még több ehhez hasonló példával találkozni? Akkor nézz szét tananyag csomagjaink között!